一文了解地图投影

让我们来了解地图与GIS中的非常重要的基础知识——地图投影。在接下来的文章中,你将看到 ...

  • 地图投影是什么?

  • 常用地图投影方式分类与适用场景

  • 地图投影和坐标系,以及我们为何需要动态投影?

  • 三维时代,地图投影还有意义吗?

    视频:看地图投影如何扭曲世界

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为什么说,地图在欺骗你?

地图投影是利用一定数学法则把地球表面的经、纬线转换到平面上的理论和方法。— 百科

我们都知道,地球就是一个两极稍扁,赤道略鼓的不规则球体,近似于椭圆体。从空间三维角度来说,地球仪才是呈现地球的最佳方式,可无论是携带、查阅还是测距,地球仪并不如地图那么方便。但若采用二维平面地图的方式呈现地球,就意味着人们需要通过某种方式展开球面,将三维转换呈现在一个二维平面上,这种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法和过程,就是地图投影

图片[1]-一文了解地图投影-元地理信息科学

也有人形象地将地图投影形容为:剥一个橙子,把果皮压平。

想象一下,你有一个橙子,代表想象中的地球,当你从任何方向看它时,无法看到它的所有面,为了同时能看到所有面的信息,你就必须把橘子剥皮、压平并拉长。

图片[2]-一文了解地图投影-元地理信息科学

地图投影是地图制作者将地球的3D椭球体渲染到2D地图表面的系统方法,其数学基础是建立起平面上的点与地球三维表面上的点之间的函数关系。用数学公式表达就是:

图片[3]-一文了解地图投影-元地理信息科学
图片[4]-一文了解地图投影-元地理信息科学

这也是为什么GISer总说,地图总在欺骗你。因为人们总是无法在二维中完美地显示三维表面,当球面转化成平面,变形是不可避免的,例如,地图投影会扭曲距离、方向、形状、比例和面积。

图片[5]-一文了解地图投影-元地理信息科学

Charles H. Deetz和 Oscar S. Adams于 1921 年所著的地图投影元素及其在地图和图表构建中的应用一书中,使用了人头像来直观反映地图投影对真实世界扭曲。1950 年代,苏联制图师Gedymin开发了一套更大的头像,用于以易于理解的方式显示由地图投影引起的变形。|  GEOAWESOME  Aleks Buczkowski

每种投影方法都有优缺点,制图者和Giser会根据自身目的决定使用适合的投影方式,例如,需要根据地图估量农业用地面积,这时地图就不应存在面积变形;如果要在地图上标绘航海线成航空线,地图就不应在方向上有变形。以及,最好使地图中央部分具有最小的变形,或者使变形适于表示成图国家的轮廓,或沿某些方向上均无变形等等...由此也产生了多种投影方式。

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地图投影常用分类与适用场景

地图投影方法姿态万千,可按照变形性质、正轴投影时经纬网的形状、正轴投影时经纬网的形状、正轴投影时经纬网的形状等标准进行分类 ——

  • 按变形性质:等角投影、等积投影和任意投影。

  • 按正轴投影时经纬网的形状:(1)几何投影:圆柱投影、圆锥投影和方位投影;(2)条件投影:伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影、多圆锥投影。

  • 按投影轴与地轴关系:正轴投影(重合)、斜轴投影(斜交)、横轴投影(垂直)。

  • 按投影面与地球表面关系:切投影、割投影

我们就以几何投影为维度,即圆柱投影、圆锥投影和方位投影,来介绍经典投影方法及其适用场景。

图片[6]-一文了解地图投影-元地理信息科学

圆柱投影  Cylindrical Projection

图片[7]-一文了解地图投影-元地理信息科学

假想有一个椭圆柱面横套在地球椭球体的外面,然后用一定投影方法映射到椭球面上,这就是圆柱体投影的原理。古希腊地理学家埃拉托色尼是最早应用地图投影绘制地图的人,当时使用的便是经纬线互相垂直的等距离圆柱投影绘制地图。这种投影保持了经距和纬距相等,经纬线呈正方形网格状,这种投影的缺点在于高纬度地区变形较大。

图片[8]-一文了解地图投影-元地理信息科学

等距离圆柱投影 

- 墨卡托投影(Mercator Projection)

号称传奇的荷兰地图学家墨卡托(Gerardus Mercator)于1569年首次通过数学投影与赤道相切的垂直圆柱体创建了墨卡托投影。由于它没有角度变形,任何直线都是恒向线(方向不变的线),能够相对准确地显示地点之间的真实方向,所以在大海航行方面得到了广泛应用。

图片[9]-一文了解地图投影-元地理信息科学

图 | GISGeography

墨卡托投影(Web Mercator)在今天的互联网上也大放光彩,成为谷歌地图的首选投影,也是我们日常生活中最为常见的地图投影,互联网地图应用最为广泛的是道路导航,在此场景下使用墨卡托投影是最佳选择,这与大海航行的应用原理相似:它保留了线与线之间的角度,避免了形状的拉伸,并保持以北为上的指向。 

图片[10]-一文了解地图投影-元地理信息科学

而其最大的缺点就是,和现实差别太大,陆地变形非常严重,离赤道越远的形状就越膨胀,特别在南极和北极,这使得格陵兰岛的面积看起来与非洲类似(事实上它只有非洲的 1/14 大小)。

图片[11]-一文了解地图投影-元地理信息科学

这张动图显示了墨卡托投影如何扭曲格陵兰岛与澳大利亚的实际大小 |  The Ture Size

- 横轴墨卡托投影(Transverse Mercator Projection)

兰伯特于1772年推出了横轴墨卡托,它使用与子午线相切的水平定向圆柱体,这对于绘制范围主要是南北向的大面积区域特别有用,所有距离、方向、形状和面积在中央经线的 15º 范围内都相当准确。然而,在15°频带之外,横向墨卡托投影在尺寸、距离和方向方面的失真显著增加。横向墨卡托投影是保形的,形状在小区域中是真实的。

通用横轴墨卡托投影(Universal Transverse Mercator),简称UTM,是一种国际标准化的地图投影法,使用笛卡儿坐标系,标记南纬80°至北纬84°之间的所有位置。

图片[12]-一文了解地图投影-元地理信息科学

- 高斯-克吕格投影 (Gauss Kluge Projection)

德国数学家高斯和大地测量学家克吕格于二十世纪初创立了高斯-克吕格投影,又名"等角横切椭圆柱投影。这种投影在长度和面积上变形都很小,且计算简便,被广泛用在大比例尺地形图的绘制上。高斯投影也是我国地图常用投影,我国基本比例尺地形图(1:100万、1:50万、1:25万、1:10万、1:5万、1:2.5万、1:1万、1:5000)除1:100万以外均采用高斯-克吕格投影。

图片[13]-一文了解地图投影-元地理信息科学

圆柱投影的优缺点总结

地球拥有唯一真实的表面,包括方向、距离、形状和面积这些属性。圆柱投影在真实展现整个地球方面较为适用,尤其是与适合展示大陆的圆锥投影相比。同时,墨卡托投影也是流行的导航选择,因为直线是恒向线。当希望展示正确的区域时,横轴墨卡托是大比例尺制图的理想选择。

圆锥投影 Conic Projections

图片[14]-一文了解地图投影-元地理信息科学

当你在地球上放置一个圆锥体并展开它时,会产生圆锥投影。典型的圆锥投影类型如,阿尔伯斯投影和兰伯特投影,这两种地图投影都非常适合绘制东西向较长的区域地图,因为沿共同平行线的失真是恒定的。对于圆锥地图投影,图像底部的距离失真最大,因此圆锥投影不适用于投射整个地球球体。

- 阿尔伯斯投影(Albers Projection)

阿尔伯斯等面积圆锥投影通常用于显示需要等面积表示的大国。例如,USGS将这种圆锥投影用于显示美国本土地图。HC Albers于1805年引入这种地图投影,使用两条标准纬线(分割线),将地图中的所有区域按比例投影到地球上的所有区域。阿尔伯斯投影的地图距离和比例仅在两个标准纬线上都是正确的,且方向相当准确,投影面积与实地相等。

图片[15]-一文了解地图投影-元地理信息科学

图 | GISGeography

- 兰伯特投影(Lambert Projection)

兰伯特等角圆锥投影是Lambert 于1772 年创造的众多作品之一,至今仍在广泛使用。它看起来像阿尔伯斯等面积圆锥投影,但标线间距不同,它是保形而非等面积的,在两个标准平行线(通常为 33°和 45°)处使用可展开的圆锥曲面割线,以最大限度地减少失真。我国1:100万地形图采用兰伯特投影。

图片[16]-一文了解地图投影-元地理信息科学

图 | GISGeography

圆锥投影的优缺点总结

与圆柱地图不同,圆锥地图投影通常不适合绘制全球级的大尺度区域,更适合绘制大陆和区域地图。

方位投影 Azimuthal projection

图片[17]-一文了解地图投影-元地理信息科学

用方位投影绘制二维地球表面,可理解为从源头沿直线发出一束光线,光源可以从不同的位置发射,以不同的角度将地球截断到一个平面上,形成不同的方位图投影,因决定纬线半径函数形式的方法不同,方位投影有透视方位投影和非透视方位投影之分。透视方位投影随视点位置不同又有正射投影、立体投影和球心投影等。非透视方位投影有等角投影、等积投影和任意(包括等距)投影。

- 正射投影(Orthographic Projection)

在这种投影下,可以想象你拥有上帝视角 ——当你在太空中数千英里,正视地球的样子:正方位投影以所有光线平行向前的方式,将地球投影到一个平面上,投影点为无穷远,所有投影线都与投影平面正交。由于直视的角度,正视投影会扭曲边缘附近的形状和区域,从投射点看,正投影方向是真实的,但既不等角也不等面积。正射投影制作的地图常被用于世界地图的插图中,以展示南北极样貌。

图片[18]-一文了解地图投影-元地理信息科学

图 | GISGeography

- 立体投影(Stereographic Projection)

理解立体投影的关键是理解它向地球投射光源的方式和方向:它从地球表面将光线投射地球球体到平面。立体投影是等角投影,但随着远离投影中心点 ,区域和距离的畸变会增加,从中心点开始的方向是正确的,每条直线代表一个大圆,投影既不等面积也不等距。它通常被用于极坐标和导航地图,因为可以保留形状(保形),尽管比例尺在透视上被大大扩展,也经常被用于绘制包括北极和南极在内的大洲或海洋地图。

图片[19]-一文了解地图投影-元地理信息科学

图 | GISGeography

- 地心投影(日晷投影)(Gnomonic  Projection)

与地表投影不同,地心投影顾名思义光源位于球体中心,这意味着它一次只能呈现不到一个半球,也叫做日晷投影,因为投影方法和日晷的原理近似。地心投影下的地图包括经线在内的每个大圆(测地线)都映射到一条直线,这使得地心投影最容易绘制出最短路线,这就是为什么航海家使用日晷投影和墨卡托投影来寻找两点之间的最短路线。1888年到1889年间,美国的海道部曾制就五种海图,都是用日晷投影来作基础的。此外,地震学家使用这种地图投影,因为地震波经常沿着大圆圈传播。

图片[20]-一文了解地图投影-元地理信息科学

图 | GISGeography

方位投影的优缺点总结

由于方位投影的中心是没有变形的点,从中心到任何点的方位角没有变形,方位投影适合于绘制圆形区域的地图和半球图。

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地图投影和坐标系,

以及我们为何需要动态投影?

在地理坐标系中,我们使用纬度和经度来确定我们在地球上任意一点的位置,例如,北京市区坐标为,北纬39.9,东经116. 3。

图片[21]-一文了解地图投影-元地理信息科学

前面我们介绍过,地图投影就是在地球表面和平面之间建立点与点之间函数关系,所以它与坐标系有着密不可分的关系,可谓牵一发动全身,随着投影方式的改变,地理坐标也会有或多或少的迁移和变更,这就是投影坐标。

因为没有最准确的地图投影方式,只有对应用场景与目标最为适合的投影,这也带来了数千种地图投影,最为常用的地图投影也在300种左右,与之相应的投影坐标也为数甚多,如北京自2022年1月1日起,就新启用了北京2000坐标系,系统采用高斯-克吕格投影,以东经116°23′28″作为中央子午线,坐标系统原点位于东经116°23′28″与北纬39°54′22″的交点,投影面高程为0米。

这就为GISer,尤其是每天需要处理海量地理空间数据的测绘与遥感中心带来了不小的难题。在地理信息系统中,通常会采用地图切片、构建金字塔的方式来处理地图和卫星影像,以满足互联网环境下快速加载不同级别的地图与缩放浏览的需求。当GISer在选用一种地图投影的同时,也采用了相应的切片方案。如果要使用另一种投影,就意味着需要将所有的数据重新处理成不同的投影瓦片,这就带来了数据处理时间成本、海量数据碎片等问题。

图片[22]-一文了解地图投影-元地理信息科学

传统影像数据处理模式带来的不同地图投影的重复处理问题示意

例如,一个缩放16级的基础切片地图中的瓦片,数量约为几十亿个,要为每个数据集的每个可能的投影生成单独的瓦片集是不现实的。此时,我们就需要对海量的投影和坐标系进行管理,并对地图进行动态投影。

超擎通过构建先进的时空大数据索引,准确快速定位海量空间数据中的有效信息并快速抽取,解决了数据读取、传输、检索、分析、显示的瓶颈,减少了3个数量级以上的计算量和IO资源要求,实现了个性化、精准、低成本的实时动态处理过程(毫秒级)。

图片[23]-一文了解地图投影-元地理信息科学

超擎影像云 - 数据处理技术示意

这样的创新让超擎影像云、超擎矢量云都支持输入/出丰富的遥感影像、矢量地图格式,支持数百个常见投影系和各类坐标系,实现了各类时空数据的实时动态投影转换

图片[24]-一文了解地图投影-元地理信息科学

并且操作十分简便 ——

 

超擎
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三维时代,地图投影还有意义吗?

目前,测绘与遥感领域都在面临着二维向三维升级的挑战,如果说地图投影是三维球面转换为二维平面时必须手段,那么,很多人产生了这样的疑问,三维地图成果,是否还需要地图投影?

目前我国测绘和时空平台级的数据主体主要是数据孪生城市和新型基础测绘中的地理场景级数据,即以城市规模为量级的倾斜模型、DEM、DOM、DSM和TDOM组合形成的地理信息数据产品,如实景三维等,在这样量级和尺度下,地图投影依然会影响DEM的精细度、高程精度,以及DOM分辨率。(了解这几个名词概念,详细参见"一文了解数字地形全家桶),所以,精确可靠地图投影依然是是4D基础地理信息产品模式中的重要组成部分,也是辅助施工过程中测量的必要基础,是各类工程坐标系和地方独立坐标系存在的意义,能够帮助广域地理场景数据实现数字孪生城市的完美复刻。

虽然文章标题是一文了解地图投影,但是地图投影的专业与精细程度、成百上千种的投影类型,远不是以上篇幅的文章能够完整描述的。但是通过了解地图投影的基本原理以及部分经典投影方式的历史,我们也能了解:地图投影曾经在人类航海、导航、探索世界中,起到了莫大的作用,我们今天能够准确顺利地到达世界上每个地点,智慧地管理城市、交通、农业,保护自然资源与维护生态平衡,都有地图投影的功劳。而在三维与数字孪生时代,它依然在帮助我们构建与复刻更为贴合现实的精确数字城市。超擎在这里向测绘人、GISer致敬!也希望更多人能够参与到这样的数字城市建设中来,从新的起点,去探索更为广阔的数字世界。

附:相关网站一览

- 超擎影像云管理端  http://vpn.superng.cn:30005/seis_base/server/login/index.html

- 超擎影像云应用端 http://vpn.superng.cn:30005/seis_base/client//

- 超擎矢量云 http://vpn.superng.cn:38004/

- 一个可以查看各种投影动态变化的网站 Jason Davies’ popular Map Projection Transition Visualizer

https://www.jasondavies.com/maps/transition/

看更多地图投影是如何扭曲世界的

 
超擎
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本期讨论:你觉得三维时代,地图投影会消失吗?

参考资料

  • 地图投影百科 - 知乎

  • 什么是地图投影?(以及为什么他们欺骗我们)- GIS地理

  • 干货分享 | 常用的地理信息系统地图投影详解 - 知乎 肖智冰

  • 测绘行业正在力推测绘成果三维化表达,那么地图投影是否已过时?- 疲劳的cloud的回答 - 知乎

 

本文来自于公众号 超擎时空

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