一文理解地球坐标系和投影的相关知识

前言

相信大家在做地图的时候会被坐标系和投影坐标搞蒙,不知道选哪个坐标系?,但是这个东西又必须得搞清楚。要想搞清楚这些问题需要从我们的地球开始,地球的是什么是形状?相信大家一定会回答:椭球。没错,但是更准备来说应该叫地球表面的几何模型是椭圆的。地球上有山、有海、有高楼大厦,很不规则椭球,所以我们把地球近似看作为椭圆,也就是刚才的说的几何模型。

打开Arcgis的坐标系文件夹也会发现这两个子文件夹。分别是地理坐标系(Geographical Coordinate System),简称GCS。投影坐标系Projected Coordinate System ,简称DMS 。地理坐标系是以经纬度表示的,是一种球面坐标系,而投影坐标系是米或者千米等为单位的,是一种以xy表示的平面坐标系。

本文简单讲述了两个坐标系统构建原理?两者之间存在的关系?怎么选分度带?同时,介绍了典型地球几何模型和投影模型。

第一部分 地理坐标系

图片[1]-一文理解地球坐标系和投影的相关知识-元地理信息科学

图1 不规则的地球

地球几何模型
根据大地测量学的研究成果,我们先谈谈地球表面几何模型:
第一类是地球的自然表面,刚也谈到,地球是个起伏不平,十分不规则的表面。固体地球表面的形态,是多种成分的内、外貌营力在漫长的地质年代里综合作用的结果,非常复杂,难以用一个简单的数学表达式表述出来,所以不适合数学模型。
第二类是相对抽象的面,即大地水准面。地球表面的72%被流体状态的海水所覆盖,因此,可以假设当海水处于完全静止的平衡状态时,从海平面延伸到所有大陆下部,而与地球重力方向处处正交的一个连续、闭合的水准面,这就是大地水准面。以大地水准面为基准,可以方便地用水准仪完成地球自然表面上任意一点高程的测量。尽管大地水准面比实际的固体地球表面要平滑得多,但实际上,由于海水温度的变化,盛行风的存在,可以导致海平面高大百米以上的起伏变化。
 
第三类是模型,就是以大地水准面为基准建立起来的地球椭球体模型。大地水准面虽然十分复杂,但从整体来看,起伏是微小的,很接近绕自转轴旋转的椭球体。所以在测量和制图中就用旋转椭球体代替大地球体。
椭球体的大小通常用两个半径表示——长半径(a)和短半径(b)   或一个半径和扁率 α来决定。
α=(a-b)/b
上式中a、b、α称为地球椭球体的基本元素。

图片[2]-一文理解地球坐标系和投影的相关知识-元地理信息科学

图2 三类模型之间的关系图

为什么大地水准面不是规则的曲线呢?
从图2看出,大地水准面也是不规则的曲线,为什么是不规则的呢?
要弄明白这个问题首先要先了解铅垂,什么是铅垂?
拿一根绳子,一端上绑一个铅块,然后掐住绳子另一端把绳子吊在空中,如果没有风,那么,这条线在空间中的形态就叫做【铅垂】。
假设图中的椭圆就是一个星球,而该星球的质量是均匀的,那么图中甲拿的红线应该就是该星球上的一条铅垂线,它理应指向这个完美几何体的几何中心:
 
但是地球是不均匀,铅垂线不一定通过几何中心,比如图中黄线。红线和黄线之间的夹角叫做垂线偏差。
第二个问题:什么是水平?什么是水平面?
水平的定义是由铅垂延伸而来的,与铅垂线互相垂直的线,我们就称其为【水平线】
而如果一个平面上的所有直线都与某同一根铅垂线互相垂直,那么就称这个平面为【水平面】。所谓的水平面,由于地球质量分布不均匀,也不是绝对水平的。
 
【敲个重点】大地水准面必须与铅垂线垂直,由于地球质量的不等导致大地水准面是不规则的曲面。
图片[3]-一文理解地球坐标系和投影的相关知识-元地理信息科学 图片[4]-一文理解地球坐标系和投影的相关知识-元地理信息科学 图片[5]-一文理解地球坐标系和投影的相关知识-元地理信息科学

 图3 椭球体对应大地基准面

旋转椭球体模型

科学家们开始对地球模型进行数学描述,但是因为在不同的年代,用不同的方法,以及测定地区不同,其中出现的很多的描述。ArcGIS中提供了多达30种旋转椭球体模型。

 

其中一个叫Krasovsky的人搞了个克拉索夫斯基椭球,还有人搞了什么IUGG-1975、WGS-84、GRS80椭球,他们主要特点是长半轴和扁率不同。那么到底用哪个?有的国家为了使自己的国家与椭球面吻合(最好大家都站在椭球面上)。比如,在建立北京54坐标系时,专家们肯定会选择与中国的大地水准面吻合比较好的椭球。此时的椭球称为参考椭球,建立的坐标系称为参心坐标系,我国的北京54和西安80坐标系都是参心坐标系,是一种局部范围的坐标系。然而这种坐标系对于全球定位来说极其不便,误差很大。

 

为什么参心坐标系误差大?

【参心坐标系】是以参考椭球的几何中心为原点的大地坐标系。参心意指参考椭球的中心。

图3 一幅图,我们要在A点建立椭球体,选择与A点吻合的椭球体,但是该椭球体不一定吻合B和C区域,那么B和C区域也得选择吻合自己的椭球体。三个椭球体地理坐标原点选择对应椭球体的中心为原点,到了B和C区域,椭球体变了,中心点也变了。用A区域的椭球体去给B和C建立坐标系,显然误差会较大。

再举个例子,前段时间国际新闻,美国用无人机精准打击苏莱曼尼的汽车,如果美国用参心坐标系那么它的导弹会打偏。美国吻合的椭球体不一定吻合伊拉克,美国在全球那么多军事行动,不可能到一个地方就建立一个坐标系。

 

所以山姆大叔率先针对GPS系统设计了全球大地坐标系WGS-84坐标系统,这时的大地原点不再是参考椭球的中心,而是地球的质心。我们叫做【地心坐标系】。

 

也就是说,不管在全球哪里,定位的原点是不会变的,这样GPS就能给全球提供服务。我国的北斗导航系统采用地心坐标系,简称CGCS2000。它与WGS-84坐标系稍微有点差异。具体差异看下表。

图片[6]-一文理解地球坐标系和投影的相关知识-元地理信息科学

几种常见坐标系的椭球参数

图片[7]-一文理解地球坐标系和投影的相关知识-元地理信息科学

图3 地理坐标

地理空间坐标系的建立

建立地理空间坐标系,主要目的是确定地面点的位置,也就是求出地面点与大地水准面的关系,它包括水平位置和高度。确定地面点的位置,我们地理坐标(经度、纬度)来表示。

地理坐标是以地理极(北极、南极)为极点。地理极是地轴(地球椭球体的旋转轴)与椭球面的交点,如图3,N为北极,S为南极。所含地轴的平面,均称为【子午面】。子午面与地球椭球体的交线叫做【子午线或经线】(比如图3中红色曲线)。所有垂直于地轴的平面与椭球体面的交线,叫做【纬线】(比如图3中蓝色曲线)。赤道是其中半径最大的纬线。经线是椭圆,纬线是圆形。

设椭球体上有一点A(图3),通过A点坐椭球面的垂线,称之为【过A点的法线】。法线与赤道面的夹角,叫做【A点的纬度】,纬度从赤道算起,赤道的纬度为0度,图中显示为55度,而且在北半球,故标示为55°N。过A点的子午面与通过英国格林尼治天文台的子午面的二面角,叫做【A点的经度】。国际规定通过英国格林尼治的子午线为【本初子午线】,作为计算经度的起点,故A点的经度标示为66°,又因为在东半球,故为66°E,所以A点的地理坐标为(55°N,66°E)。这种为度分秒为单位进行测量,也可以十进制为单位。

好啦,这样大家明白了坐标系的定义了吧,首先,需要定义参考椭球体,有了参考椭球还需要大地基准面(全球大地坐标系就不要了),然后需要定义坐标系原点和坐标轴的指向。这样一个坐标系就建立了,全球定位吧,哈哈!我们可以用GPS看到自己的坐标,根据已知坐标也能找到该处地点。

第二部分 投影

投影

地理坐标是一种球面坐标,无法进行面积、距离、方向的计算。两个人要约会,对方告诉了你的经纬度,你也无法知道你离她有多远,到它那里需要多久时间。这对成功约会是致命的,不过放心,无法阻挡一颗约会的心。这不,我们不管哪款地图软件都可以看到我到她那得距离,以及怎么走。如何实现的呢?

很简单,把地面上的点搬到平面上。将球面坐标转化为平面的坐标的过程称为【投影】。地球坐标系是大地坐标系,即地面点P的位置用大地经度L、大地纬度B和大地高H表示(L,B,H)。投影坐标系是平面坐标系。所以要用平面坐标表示地面上任何一点的位置,首先要把曲面展开为平面,但由于地球表明是不可展开的曲面,也就说曲面的各点不能直接表示在平面上,因此必须运用地图投影的方法,建立地球表面与平面上点的函数关系。

总结来说:投影坐标系=地理坐标系+投影算法函数

科学家们也发明了很多投影方式以及函数关系,比如等角投影,等积投影,等距投影,任意投影等。如下图所示。

图片[8]-一文理解地球坐标系和投影的相关知识-元地理信息科学

图4 不同的投影方式

高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影

从几何概念上分析,它是一种横轴等角切圆柱投影。我们把地球看成是地球椭球体,假想用一个椭圆筒横套在其上,使筒与地球椭球的某一经线(称为中央经线)相切,椭圆筒的中心轴位于赤道上,按等角条件将地球表面投影到椭圆筒上,然后将椭圆筒展开成平面。如图5所示。

地球表面以等块方式投影到椭圆筒上呢?在我国分类3°带和6°带。

6°带从格林尼治零度经线起,自东半球向西半球,每经差60分为一个投影带,即东经0~6,6~12,12~18,….174~180,用阿拉伯数字1,2,3,4….60表示投影带号,全球共分为60个投影带。

3°带从东经1°30΄算起,自从东半球向西半球每3°为一带,将全球化分为120个投影带,其中中央经线的位置为3°,6°,9°,15°,........180°。

我国,在1:2.5万到1:50万时,用6°带,在大于1:1万地形图中用3°带。它有两种表示方法,以3°带为例。

按经线表示 按分带号表示
Beijing 1954 (Xian 1980) 3 Degree GK CM117E Beijing 1954 (Xian 1980) 3 Degree GK Zone 25
北京54(西安1980)3度带无带号 北京54(西安1980)3度带有带号

GK是高斯克吕格,CM是Central Meridian 中央子午线,Zone是分带号,N是表示不显示带号。

具体到实例中我们该怎么选?查阅我国高斯—克吕格投影6度、3度分带表。以3度带为例,我们我们作图的经度范围112.64°~113.30°(注意这是十进制,如果是度分秒须进行换算)。在范围112.5°-113.5°的范围内,对应的中央经度为114,带号为38。在Arcgis中投影坐标系中选择Beijing 1954 (Xian 1980) 3 Degree GK CM114E或者Beijing 1954 (Xian 1980) 3 Degree GK Zone 38。

图片[9]-一文理解地球坐标系和投影的相关知识-元地理信息科学

图5 高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影

图片[10]-一文理解地球坐标系和投影的相关知识-元地理信息科学

图6 分度带图

我国高斯—克吕格投影6度、3度分带表

图片[11]-一文理解地球坐标系和投影的相关知识-元地理信息科学

墨卡托投影

墨卡托投影(UTM),又称正轴等等角圆柱投影,由荷兰地图学家墨卡托(G.Mercator)于1569年创立。假想一个与地轴方向一致的圆柱切或割于地球,按等角条件,将经纬网投影到圆柱面上,将圆柱面展为平面后,即得本投影。WGS1984大地坐标系使用。

同样,墨卡托投影也有分度带。那么我们怎么选分度带?有两种方法:

第一种,查表法。比如经度范围112.5°-113.5°,查到对应的经度范围,即108-114,对应的中央经线111E,带号49。即WGS1984 UTM ZONE 49N。N代表北半球。

第二种,计算法。可根据公式计算,带数=(经度整数位/6)的整数部分+31。

还是上面的例子:112/6+31=49,选49N,即WGS1984 UTM ZONE 49N。

图片[12]-一文理解地球坐标系和投影的相关知识-元地理信息科学

图7 墨卡托投影

我国墨卡托投影分带表

图片[13]-一文理解地球坐标系和投影的相关知识-元地理信息科学

结语

想必大家对地理坐标系和投影坐标有个大致的了解,想要进一步探究其原理请查阅更多专业书籍。掌握了这些基本原理对我们在ArcGIS中作图和坐标系统转化工作中大有裨益。

 

本文来自公众号 生态学人

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